SISTEM BILANGAN REAL " Mengenal Bilangan Real & Interval "

Nama: Ahmad Rafiu Najwa Janahta

NPM: 21312118

Kelas: IF 21 C

Mengenal Sistem Bilangan Real

Sistem bilangan real merupakan materi yang sangat penting dalam mempelajari kalkulus dan aplikasinya. Oleh itu, sebelum mempelajari materi-materi lain dalam kalkulus dan aplikasinya, pembaca diharapkan telah memahami dan dapat menggunakan sifat-sifat yang berlaku pada sistem bilangan real.

Dasar utama pengembangan matematika adalah teori bilangan dan geometri. Sistem bilangan real ( diberi lambang R ) adalah himpunan bilangan real yang disertai dengan operasi penjumlahan dan perkalian sehingga memenuhi aksioma lapangan, urutan dan kelengkapan. 

Suatu aksioma adalah basis dari sistem logika formal yang bersama-sama dengan aturan inferensi mendefinisikan logika. Kata aksioma dalam matematika juga disebut postulat yaitu suatu titik awal dari sistem logika. Misalnya, 1+1=2 Melalui dua titik sembarang hanya dapat dibuat sebuah garis lurus.

Ilustrasi:

Garis Real

1. R diasosiasikan sebagai garis lurus

    x anggota dari R diasosiasikan sebagai suatu titik di garis

   

2. Titik acuan: bilangan 0

     Bilangan real positif x terletak x unit di kanan 0 

     Bilangan real positif -x terletak x unit di kiri 0 

Urutan

Definisi (Relasi Urutan)

1. Relasi urutan < (dibaca lebih kecil daripada) didefinisikan oleh 

    x < y jika dan hanya jika y - x positif. 

2. Relasi urutan <= (dibaca lebih kecil daripada atau sama dengan)
didefinisikan oleh 

    x <= y jika dan hanya jika y - x positif atau nol

Sifat-Sifat Urutan

1. Trikotomi

    Jika x dan y adalah bilangan-bilangan, maka tepat satu di antara

yang berikut berlaku:

    x < y atau x = y atau x > y

2. Ketransitifan

    Jika x < y dan y < z, maka x < z  

3. Penambahan

    x < y jika dan hanya jika x + z < y + z

4. Perkalian

    Ketika z positif, x < y jika dan hanya jika xz < yz
    Ketika z negatif, x < y jika dan hanya jika xz > yz 

Interval 

Interval adalah himpunan bilangan real yang didefinisikan dan dilambangkan sebagai berikut:

Gabungan dan Irisan

Definisi

Misalkan A dan B merupakan interval

Pertidaksamaan

Definisi (Pertidaksamaan)

Pertidaksamaan adalah pernyataan matematik yang memuat salah satu relasi urutan <, >, <= , atau >= .

Definisi (Penyelesaian Pertidaksamaan)

Penyelesaian pertidaksamaan adalah semua bilangan real yang memenuhi pertidaksamaan tersebut

Menyelesaikan pertidaksamaan:

• Dengan sifat urutan
• Dengan garis bilangan bertanda